ΚΟΙΝΟΠΟΙΗΣΗ | ΕΚΤΥΠΩΣΗ | ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ
Οι περισσότεροι άνθρωποι που δεν έχουν σπουδάσει μαθηματικά πιστεύουν ότι τα μαθηματικά είναι ένα στατικό οικοδόμημα αλήθειας. Η κοινή αντίληψη είναι ότι τα μαθηματικά σύμβολα αντιπροσωπεύουν ιδέες και υπάρχουν λογικοί κανόνες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία νέων ιδεών: οι λεγόμενες αποδείξεις θεωρημάτων. Οι άνθρωποι βλέπουν τα θεωρήματα και τις ιδέες που αντιπροσωπεύουν ως μια εικόνα του κόσμου που είναι προβλέψιμη και γνωστή. Αυτό που φαίνεται να εμποδίζει τους περισσότερους ανθρώπους από το να επιδιώξουν αυτή τη βαθύτερη γνώση είναι ότι είναι πραγματικά δύσκολο. Και πραγματικά βαρετό, σωστά;
Τα τελευταία χρόνια, αυτή η στατική άποψη για τα μαθηματικά έχει εκδηλωθεί ως εξάρτηση από μοντέλα. Αυτά ήταν πραγματικά μαθηματικά μοντέλα, όπως στην πρόβλεψη του αριθμού των μολύνσεων και του τρόπου με τον οποίο ο ιός θα μπορούσε να εξαπλωθεί, αλλά και πιο γενικά νοητικά μοντέλα, όπως η πλήρης εξάρτηση από την επιστήμη για να υπαγορεύσει πώς πρέπει να συμπεριφερόμαστε όλοι - Πρέπει να θέσουμε σε καραντίνα; Πρέπει να φοράμε μάσκα; Πρέπει να μένουμε σε απόσταση δύο μέτρων μεταξύ μας;
Αυτή η άποψη υποστηρίζει ακράδαντα την ιδέα ότι η αλήθεια που αναζητούμε υπαγορεύεται θεμελιωδώς από έναν φυσικό κόσμο που είναι ορθολογικός, μηχανιστικός και προβλέψιμος.
Φυσικά, ως άτομα έχουμε ψυχολογικούς περιορισμούς που μας εμποδίζουν να δούμε την αλήθεια εντελώς αντικειμενικά. Στο εξαιρετικό του βιβλίο 12 Κανόνες για τη ζωή Ο Τζόρνταν Πίτερσον συζητά πώς οι αντιλήψεις μας είναι πάντα εστιασμένες και πώς χάνουμε τα περισσότερα από αυτά που ο κόσμος έχει να μας δείξει. Αναφέρει ψυχολογικές μελέτες για να αποδείξει το επιχείρημά του και δείχνει πώς αυτή η παρατήρηση είναι πολύ παλιά, καθώς αναφέρεται ως η maya στα αρχαία Ινδουιστικά Βεδικά κείμενα.
Έτσι, έχουμε έναν ψυχολογικό περιορισμό που μας εμποδίζει να δούμε τα πάντα στον κόσμο και επιτρέπει μόνο μια στενή, εστιασμένη άποψη που καθοδηγείται εν μέρει από τις επιθυμίες μας. Αυτό ισχύει τόσο για τους επιστήμονες και τους υπεύθυνους χάραξης πολιτικής όσο και για τους ανθρώπους που ασχολούνται με άλλες δραστηριότητες.
Η υπόσχεση της επιστήμης, φυσικά, είναι να παρακάμψει αυτό το πρόβλημα. Υπάρχει αυτή η μέθοδος, ένας τρόπος να ορίσουμε προσεκτικά τα πειράματα, έτσι ώστε αυτή η αντικειμενική αλήθεια να μπορεί να μοιραστεί με άλλους και να μπορέσουμε να καταλήξουμε σε μια κοινή κατανόηση του κόσμου γύρω μας. Η κορωνίδα της επιστήμης είναι αυτή η πίστη στο ορθολογικό, ότι τα μοντέλα αποτελούν όλη τη βάση της αντικειμενικής πραγματικότητας. Αλλά ακόμη και η επιστήμη έχει τους περιορισμούς της στην αλήθεια που μπορεί να προσφέρει.
Ερευνώντας σε βάθος την επιστήμη, φτάνετε στα μαθηματικά. Σίγουρα, αυτά αποτελούν τη βάση της λογικής σκέψης και οι μαθηματικές αλήθειες είναι πλήρεις.
Αυτό που οι περισσότεροι άνθρωποι δεν γνωρίζουν, εκτός αν σπουδάσουν μαθηματικά σε μεταπτυχιακό επίπεδο, είναι ότι η ίδια η βάση των μαθηματικών δεν είναι τόσο σταθερή όσο νομίζετε και ότι η ιδέα του τι μπορεί ή δεν μπορεί να αποδειχθεί δεν είναι τόσο ξεκάθαρη. Οι μαθηματικές αποκαλύψεις πριν από σχεδόν έναν αιώνα αναστάτωσαν τη μηχανιστική άποψη για τον κόσμο.
Πριν από τις αρχές του 20ού αιώνα, πολλοί από τους λαμπρότερους μαθηματικούς επικεντρώνονταν στην κατανόηση των θεμελίων της. Για έναν μαθηματικό, τα θεμέλια είναι εκείνα τα πολύ βασικά στοιχεία κατανόησης που χρησιμεύουν ως δομικά στοιχεία για όλα τα άλλα. Από τα θεμέλια, όλα τα άλλα προκύπτουν.
Ο Μπέρτραντ Ράσελ, ένας λογικός και φιλόσοφος αυτής της περιόδου, συνεργάστηκε με τον μαθηματικό-φιλόσοφο Άλφρεντ Νορθ Γουάιτχεντ για να κατασκευάσουν τα μαθηματικά από τις πρώτες αρχές. Μαζί δημιούργησαν ένα γιγάντιο έργο που περιγράφει πώς όλα τα μαθηματικά θα μπορούσαν να παραχθούν από μερικές βασικές ιδέες και κανόνες. Ο τρίτομος τόμος, που δημοσιεύθηκε μεταξύ 1910 και 1913, ονομαζόταν Principia Mathematica.
Για να σας δώσουμε μια ιδέα για την αφηρημένη φύση αυτής της επιδίωξης, ξεκινά με μια θεμελιώδη αλήθεια της ανθρώπινης αντίληψής μας. Δηλώνει ότι ουσιαστικά γνωρίζουμε πώς να διαχωρίζουμε ένα αντικείμενο από ένα άλλο και στη συνέχεια μπορούμε να αρχίσουμε να ομαδοποιούμε αυτά τα αντικείμενα.
Έτσι ξεκινάει: το πρώτο σύνολο είναι αυτό του μηδενός. (Πραγματικά!) Αλλά το ιδέα του τίποτα δεν είναι κάτι. Αν προσδιορίσουμε το σύνολο που περιέχει ένα πράγμα, αυτό το τίποτα, έχουμε τώρα ένα σύνολο που είναι μεγαλύτερο από το τίποτα, και έτσι μπορούμε να ορίσουμε τον αριθμό 1. Έτσι, με κανόνες που ορίζονται για το πώς να μεταβούμε από ένα μαθηματικό πράγμα σε ένα άλλο, τους κανόνες της λογικής, χτίζοντας ολόκληρο το γνωστό σύμπαν των μαθηματικών.
Εκείνη την εποχή, η μαθηματική κοινότητα το θεωρούσε αυτό ως μια φανταστική πρόοδο. Μαίνονταν οι συζητήσεις σχετικά με το τι σήμαινε για την ανθρώπινη κατανόηση. Για παράδειγμα, αν όλη η μαθηματική αλήθεια μπορούσε να παραχθεί χρησιμοποιώντας βασικές αρχές και λογικούς κανόνες, γιατί χρειαζόμαστε καθόλου μαθηματικούς; Ένας υπολογιστής (μόλις αναπτυχθεί) θα μπορούσε να προχωρήσει τυφλά δημιουργώντας νέα θεωρήματα από το τίποτα. Αν πιστεύετε ότι τα μαθηματικά είναι η γλώσσα της φύσης, τότε αυτό θα παρείχε έναν μηχανιστικό τρόπο για να αποκαλυφθούν όλα τα μυστήρια της φύσης.
Τα όνειρα για τη θεμελιώδη βάση των μαθηματικών έζησαν για ενάμιση δεκαετία, μέχρι που διαψεύστηκαν για πάντα από έναν νεαρό Τσέχο μαθηματικό ονόματι... Κρτ ΓκόντελΤο 1930 ο Γκέντελ παρουσίασε μια απόδειξη που έδειχνε ρητά ότι Principia Mathematica ήταν ατελής. Η ουσία των όσων είπε είναι ότι μέσα κάθε επίσημο σύστημα:
Υπάρχουν πράγματα που είναι αληθινά και δεν μπορούν να αποδειχθούν αληθινά.
Παραδόξως, ο Γκέντελ απέδειξε αυτόν τον ισχυρισμό με δόμησηΑυτό σημαίνει ότι στην πραγματικότητα έδειξε ότι χρησιμοποιώντας τους κανόνες του Principia Mathematica μπορούσε να δημιουργήσει μια τέτοια δήλωση, μια δήλωση που να ήταν αληθής, αλλά η οποία δεν μπορούσε να αποδειχθεί αληθής από τους κανόνες. Πώς κατασκεύασε κάτι τέτοιο;
Επιτέθηκε στον κυρίαρχο σκοπό των Principia με ένα έξυπνη νέα μέθοδος στη λογικήΜε κάθε αλήθεια, συνέδεε έναν αριθμό και με κάθε λογικό κανόνα, συνέδεε έναν τρόπο μετάβασης από τους αριθμούς αλήθειας σε άλλους αριθμούς αλήθειας. Κάθε βήμα συσχετιζόταν επίσης με έναν αριθμό. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τους αριθμούς έναντι των ίδιων των αριθμών, δημιούργησε έναν νέο αριθμό, ο οποίος έπρεπε να είναι ένας αριθμός αλήθειας, αλλά στον οποίο δεν μπορούσες να φτάσεις με τους άλλους αριθμούς.
Ήταν αυτός ο αναδρομικός μηχανισμός, όπου οι αριθμοί ήταν ταυτόχρονα δηλώσεις και βήματα διδασκαλίας που ενέπνευσε αυτή την αποκάλυψη. Έτσι, διαπίστωσε ότι υπήρχε ένας αριθμός που αντιστοιχούσε σε μια δήλωση που ήταν αληθής στο πλαίσιο του Principia, αλλά το οποίο δεν μπορούσε να αποδειχθεί με τους κανόνες για την παραγωγή αληθομετρικών αριθμών.
Με ένα μόνο χτύπημα, ο Γκέντελ κατέστρεψε τα χρόνια εργασίας των Ράσελ και Γουάιτχεντ, καθώς και δεκάδων άλλων λογικών που αναζητούσαν αυτή τη Νιρβάνα της θεμελιώδους αλήθειας που θα εδραίωνε όλα τα μαθηματικά και, κατ' επέκταση, την κατανόησή μας για το φυσικό σύμπαν.
Ουσιαστικά, χρησιμοποίησε τη δύναμη της λογικής και των αριθμών ενάντια στον εαυτό της.
Αυτό είναι σημαντικό.
Ό,τι κι αν έκανες ως μαθηματικός, όποιο μοντέλο κι αν δημιούργησες, όσο προσεκτικά κι αν όρισες τις θεμελιώδεις υποθέσεις και τους κανόνες, δεν θα μπορούσες ποτέ να κατανοήσεις πλήρως το θέμα που προσπαθούσες να μελετήσεις.
Το έργο του Γκέντελ υπάρχει μόνο στον τομέα των μαθηματικών. Δεν αποδεικνύει τίποτα στον επιστημονικό ή ανθρώπινο τομέα εκτός από εκεί που αυτά τέμνονται με τα μαθηματικά. Αλλά μπορεί να επηρεάσει τη λήψη πραγματικών αποφάσεων στη ζωή μας.
Οι ειδικοί μας παρουσιάζουν συνεχώς ιδέες που μας δείχνουν έναν τρόπο ζωής και πίστης. Είναι όλα μοντέλα, πιθανώς βασισμένα στη λογική και τη λογική. Αυτές οι ιδέες παρουσιάζονται ως το τέλος. Παρουσιάζονται σαν να μην υπάρχει άλλη αλήθεια. Ο Γκέντελ μας έδειξε ότι αυτή η μηχανιστική άποψη για τη φύση δεν αντέχει στον πιο βασικό έλεγχο της λογικής.
Υπάρχουν ανθρώπινες αλήθειες.
Υπάρχουν πνευματικές αλήθειες.
Υπάρχουν βαθύτερες αλήθειες στο σύμπαν που δεν μας επιτρέπεται να κατανοήσουμε.
Κάθε φορά που ένας πολιτικός, ή μια αυθεντία, ή ακόμα και ένας φίλος σας λέει ότι όλα είναι γνωστά, ότι υπάρχει ένα μοντέλο που ορίζει την αλήθεια και ότι ακολουθώντας το μοντέλο το μέλλον θα γίνει γνωστό, να είστε σκεπτικοί. Υπάρχουν μυστήρια πέρα από την ανθρώπινη κατανόηση που διαφεύγουν ακόμη και της βαθύτερης λογικής συλλογιστικής του ανθρώπου.
Και αυτό αποδείχθηκε, από έναν άνθρωπο.
-
Ο Άλαν Λας είναι προγραμματιστής λογισμικού από τη Βόρεια Καλιφόρνια, με μεταπτυχιακό δίπλωμα στη Φυσική και διδακτορικό στα Μαθηματικά.
Προβολή όλων των μηνυμάτων
